Supponiamo di avere un'applicazione lineare tra spazi vettoriali
e
.
Sia
il suo nucleo e
in
lo spazio immagine. Allora l'applicazione da
a
e' suriettiva.
Definiamo un'applicazione
ponendo:
L'applicazione associa alla classe di equivalenza di un vettore
l'immagine
Chiamo
la mappa quoziente.
Dimostro che l'applicazione e' ben definita. Siano
e
in
tali che
nello spazio
. Cio' significa che se faccio la differenza
essa sta in
. Applicando
a
ottengo
, quindi
per la linearita' di
, quindi
.
Concludo che risulta ben definita un'applicazione
se
in
e' un qualsiasi vettore tale che
(l'immagine non dipende dalla scelta di
con questa proprieta').
Se
e
sono due elementi nello spazio quoziente, e
sono numeri reali segue che
Ma per definizione di spazio quoziente
quindi
L'applicazione
e' lineare e il suo nucleo e' l'insieme delle classi di equivalenza
con la proprieta' che
, quindi
e' l'insieme degli
tali che
appartiene al nucleo di
.
L'unica classe di equivalenza che sta nel nucleo e' la classe di equivalenza di 0, e' lo 0 dello spazio quoziente, quindi l'applicazione lineare
e' iniettiva. Ricaviamo quindi che vista come applicazione lineare da
a valori nello spazio immagine di
,
e' un isomorfismo.
Pertanto data una qualsiasi applicazione lineare
esiste un isomorfismo naturale (che dipende solo da
) dallo spazio quoziente
allo spazio immagine.
Sappiamo a priori per il teorema del rango che i due spazi hanno la stessa dimensione: infatti lo spazio quoziente di partenza ha dimensione
che per il teorema del rango e' uguale a
, cioe' alla dimensione dello spazio di arrivo.
Cio' che scopriamo e' che l'isomorfismo non dipende da scelte di basi.
