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Supponiamo di avere un'applicazione lineare tra spazi vettoriali e .


Sia il suo nucleo e in lo spazio immagine. Allora l'applicazione da a e' suriettiva.

Definiamo un'applicazione ponendo:

L'applicazione associa alla classe di equivalenza di un vettore l'immagine Chiamo la mappa quoziente.


Dimostro che l'applicazione e' ben definita. Siano e in tali che nello spazio . Cio' significa che se faccio la differenza essa sta in . Applicando a ottengo , quindi per la linearita' di , quindi .


Concludo che risulta ben definita un'applicazione se in e' un qualsiasi vettore tale che (l'immagine non dipende dalla scelta di con questa proprieta').


Se e sono due elementi nello spazio quoziente, e sono numeri reali segue che

Ma per definizione di spazio quoziente
quindi

L'applicazione e' lineare e il suo nucleo e' l'insieme delle classi di equivalenza con la proprieta' che , quindi e' l'insieme degli tali che appartiene al nucleo di .


L'unica classe di equivalenza che sta nel nucleo e' la classe di equivalenza di 0, e' lo 0 dello spazio quoziente, quindi l'applicazione lineare e' iniettiva. Ricaviamo quindi che vista come applicazione lineare da a valori nello spazio immagine di , e' un isomorfismo.


Pertanto data una qualsiasi applicazione lineare esiste un isomorfismo naturale (che dipende solo da ) dallo spazio quoziente allo spazio immagine.


Sappiamo a priori per il teorema del rango che i due spazi hanno la stessa dimensione: infatti lo spazio quoziente di partenza ha dimensione che per il teorema del rango e' uguale a , cioe' alla dimensione dello spazio di arrivo.


Cio' che scopriamo e' che l'isomorfismo non dipende da scelte di basi.

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