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Geometry and Linear Algebra II |
Anno accademico 2018/2019 |
Codice attività didattica
MFN0571
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Docente
Prof. Alberto Albano (Titolare del corso)
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Corso di studio
008703 Laurea in Fisica
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Anno
3° anno
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Periodo didattico
Primo periodo didattico
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Tipologia
C=Affine o integrativo
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Crediti/Valenza
6
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SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
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Erogazione
Tradizionale
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Lingua
Italiano
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Frequenza
Facoltativa
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Tipologia esame
Orale
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Prerequisiti
Conoscenza di: - le nozioni di base di algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici; - la nozione di differenziabilità per funzioni di più variabili; Gli studenti che hanno seguito i corsi di Geometria e Algebra Lineare 1, Analisi Matematica 1, 2 e 3 sono in possesso di questi prerequisiti. |
Propedeutico a
Corsi di contenuto matematico nella Laurea Magistrale in Fisica. |
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Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di fornire alcuni strumenti matematici che vengono utilizzati in diversi settori della fisica moderna. In particolare, nella parte di carattere algebrico, si intende dare un panorama completo dei gruppi e delle algebre di matrici e delle loro principali proprietà. La parte di carattere geometrico è dedicata alle proprietà delle curve e superfici dello spazio euclideo tridimensionale, con particolare attenzione alla nozione di curvatura. Questi concetti sono propedeutici alle nozioni di varietà differenziabile, spazio tangente, differenziale di applicazioni differenziabili e gruppi e algebre di Lie, che vengono introdotte nella parte finale del corso. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). L'insegnamento ha lo scopo di approfondire gli argomenti trattati nell'insegnamento di Geometria e Algebra Lineare I, che sono utilizzati negli insegnamenti del percorso di Fisica Teorica. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alle strutture algebriche di base e alla geometria differenziale, in modo da fornire alcuni prerequisiti di carattere matematico necessari al proseguimento degli studi (obiettivo 1). Lo strumento di verifica è costituito da una prova orale preceduta dalla risoluzione di alcuni esercizi. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo degli argomenti indicati nel programma, mediante una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancate da esempi significativi ed esercizi (a volte svolti mediante programmi di calcolo simbolico). La verifica degli obiettivi avviene richiedendo preliminarmente allo studente di svolgere alcuni esercizi e successivamente di discutere gli aspetti teorici utilizzati (obiettivo 1). |
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GEOMETRIA DIFFERENZIALE 1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate. 2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio: Superfici regolari. Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss, e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium di Gauss. 3. Varietà differenziabili: elementi di topologia, il concetto di varietà differenziabile astratta, spazio tangente, funzioni differenziabili fra varietà, il differenziale di una funzione come mappa lineare fra spazi tangenti. Fibrato tangente e cotangente, campi vettoriali, campi tensoriali covarianti e controvarianti. GRUPPI E ALGEBRE DI LIE 1. Risvolto Color Oggi Rosso Lunga Vestito Manica Vino Velluto Di Coste Giacca uk A Block Mens Gruppi di matrici: definizione di gruppo astratto, esempi. Gruppi di matrici classici: il gruppo lineare GL(n), il gruppo speciale lineare SL(n), il gruppo ortogonale O(n), il gruppo unitario U(n), il gruppo simplettico Sp(n), il gruppo di Heisenberg H3. 2. Algebre di Lie: algebre di Lie astratte, algebre di Lie di matrici. La mappa esponenziale. Relazioni fra algebre di Lie di matrici e gruppi di matrici. 3. Gruppi di Lie: gruppi di Lie di matrici, rappresentazione aggiunta, la formula del prodotto di Lie, campi di vettori invarianti e spazio tangente, la formula di Baker-Campbell-Hausdorff.
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Modalità di insegnamento
Lezioni frontali. |
Modalità di verifica dell'apprendimento
Colloquio orale L'esame è costituito da una prova orale che verte preliminarmente su due esercizi, uno riguardante le curve oppure le superfici nello spazio, l'altro avente per oggetto i gruppi e le algebre di matrici. Successivamente, vengono approfonditi gli aspetti teorici degli argomenti oggetto degli esercizi, richiedendo le definizioni, gli esempi più significativi e le dimostrazioni di teoremi trattati durante le lezioni. Eventuali studenti stranieri possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano, inglese o francese.
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Attività di supporto
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Testi consigliati e bibliografia
Per geometria differenziale:
Curve e superfici Differential Geometry of Curves and Surfaces Geometria differenziale
Per gruppi e algebre di Lie An Elementary Introduction to Groups and Representations
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Note
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Orario lezioniLezioni: dal 24/09/2018 al 25/11/2018 Nota: Orario visualizzabile alla sezione "Orario lezione" |
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Aperta
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